Question

20．已知函数f（x）=$cos（2x+\frac{π}{3}）-cos2x$（x∈R），其中下列结论正确的个数为（　　）
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是x=$\frac{2π}{3}$
③函数f（x）图象的一个对称中心为（$\frac{5π}{12}$，0）；
④函数f（x）的递增区间为$[{\left.{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]}$（k∈Z）．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用两角和与差的正弦和余弦化简整理f（x）．可知函数为非奇非偶函数判断①；直接求f（$\frac{2π}{3}$）、f（$\frac{5π}{12}$）的值判断②③；利用复合函数的单调性求出函数的增区间判断④．

解答 解：f（x）=$cos（2x+\frac{π}{3}）-cos2x$
=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}-cos2x$
=$-（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）=-sin（2x+\frac{π}{6}）$．
函数f（x）的最小正周期为π，是非奇非偶函数，①错误；
由f（$\frac{2π}{3}$）=$-sin（2×\frac{2π}{3}+\frac{π}{6}）=-sin\frac{3π}{2}=1$，可知函数f（x）图象的一条对称轴是x=$\frac{2π}{3}$，②正确；
由f（$\frac{5π}{12}$）=-sin（$2×\frac{5π}{12}+\frac{π}{6}$）=0，可知函数f（x）图象的一个对称中心为（$\frac{5π}{12}$，0），③正确；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$kπ+\frac{π}{6}＜x＜kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$，∴f（x）的递增区间为$[{\left.{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]}$（k∈Z），④正确．
∴正确命题的个数是3个．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．