Question

求a，b的值，使得关于x的不等式ax²+bx+a²-1≤0的解集分别是：（1）[-1，2]；（2）（-∞，-1]∪[2，+∞）；（3）{2}；（4）[-1，+∞）．

Answer 1

分析：（1）由不等式的解集为[-1，2]，得到a大于0且-1和2为不等式左边等于0的方程的两个解，利用韦达定理表示出两根之和和两根之积，得到a与b的两关系式，联立即可求出a与b的值；
（2）由不等式的解集为（-∞，-1]∪[2，+∞），得到a小于0且-1和2为不等式左边等于0的方程的两个解，利用韦达定理表示出两根之和和两根之积，得到a与b的两关系式，联立即可求出a与b的值；
（3）由不等式的解集为{2}，得到2是不等式左边等于0的方程的解，把x=2代入方程中得到关于a与b的关系式，记作①，且a大于0，根的判别式等于0，列出关于a与b的不等式，记作②，联立①②，即可求出a与b的值；
④由不等式的解集为[-1，+∞），得到a=0，b小于0，且-1是不等式左边等于0的方程的解，代入方程得到关于a与b的关系式，把a=0代入即可求出b的值．

解答：解：（1）由题意可知，a＞0且-1，2是方程ax²+bx+a²-1=0的根，所以

a＞0 -1+2=- b a -1×2= a2-1 a

，解得

a=-1+ 2 b=1- 2

；
（2）由题意可知，a＜0且-1，2是方程ax²+bx+a²-1=0的根，所以

a＜0 -1+2=- b a -1×2= a2-1 a

，解得

a=-1- 2 b=1+ 2

；
（3）由题意知，2是方程ax²+bx+a²-1=0的根，所以
4a+2b+a²-1=0． ①
又{2}是不等式ax²+bx+a²-1≤0的解集，所以

a＞0 △=b2-4a(a2-1)=0②

，
解①，②得：a=2+

5

，b=-8-4

5

；
（4）由题意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a²-1=0的根，即-b+a²-1=0，所以
a=0，b=-1．

点评：此题考查学生利用二次函数的图象与性质解一元二次不等式，灵活运用韦达定理化简求值，是一道综合题．