题目内容
【题目】已知
，
是椭圆
：
的左、右焦点，离心率为
，
，
是平面内两点，满足
，线段
的中点
在椭圆上，
周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过
的直线
与椭圆交于
，
，求
（其中
为坐标原点）的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）连接
，根据中位线定理结合椭圆的定义得出
，再由椭圆的性质，即可得出椭圆
的方程；
（2）当直线
的斜率不存在时，将直线的方程代入椭圆方程，得出
，当直线的斜率存在时，设出直线的方程并代入椭圆方程，结合韦达定理以及向量的数量积公式，得出
，根据
的范围，即可得出
的取值范围．
（1）连接，∵
∴
是线段
的中点
∵
是线段
的中点，∴
，且
由椭圆的定义知，
∴
周长为，
由离心率为
知，
，解得
，
，∴
∴椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线
代入椭圆方程，解得
此时
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
椭圆的方程
整理得，
设
，
，则
，
，解得
∴
∵，∴
，∴
，∴
∴
综上所述，的取值范围为．
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