题目内容

已知
3sinα-2cosα
4sinα-3cosα
=
4
5
，求
（1）sinα-cosα
（2）
2
3
sin2α+
1
4
cos2α．
分析：（1）由
3sinα-2cosα
4sinα-3cosα
=
4
5
，可得
3tanα-2
4tanα-3
=
4
5
，解得tanα=2，分α 是第一象限角和α 是第二象限角两种情况分别求出sinα和cosα的值，进而求得sinα-cosα 的值．
（2）由
2
3
sin2α+
1
4
cos2α=
2
3
sin2α+
1
4
cos2α
cos2α +sin2α
=
2
3
tan2α+
1
4
1 +tan2α
，把tanα=2代入运算求得结果．
解答：解：（1）∵
3sinα-2cosα
4sinα-3cosα
=
4
5
，∴
3tanα-2
4tanα-3
=
4
5
，∴tanα=2．
当α 是第一象限角时，sinα=
2
5
5
，cosα=
5
5
，sinα-cosα=
5
5
．
当α 是第三象限角时，sinα=-
2
5
5
，cosα=-
5
5
，sinα-cosα=-
5
5
．
（2）
2
3
sin2α+
1
4
cos2α=
2
3
sin2α+
1
4
cos2α
cos2α +sin2α
=
2
3
tan2α+
1
4
1 +tan2α
=
7
12
．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，求得tanα=2，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知在函数f（x）y=
3
sin
πx
R
图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为（　　）
A、1B、2C、3D、4
已知函数f(x)=
3
sin
πx
k
的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=k2上，则正数k的值是（　　）
A、1B、2C、3D、4
已知函数f（x）=3sin（-2x+
π
4
）的图象，给出以下四个论断：
①该函数图象关于直线x=-
5π
8
对称；     
②该函数图象的一个对称中心是（
7π
8
，0）；
③函数f（x）在区间[
π
8
，
3π
8
]上是减函数；  
④f（x）可由y=-3sin2x向左平移
π
8
个单位得到．
以上四个论断中正确的个数为（　　）
给出下列命题：
（1）函数f(x)=log3(x2-2x)的单调减区间为（-∞，1）；
（2）已知P：|2x-3|＞1，q：
1
x2+x-6
＞0，则p是q的必要不充分条件；
（3）命题“?x∈R，sinx≤
1
2
”的否定是：“?x∈R，sinx＞”；
（4）已知函数f(x)=
3
sinωx+cosωx(ω＞0)，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则y=f（x）的单调递增区间是[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z；
（5）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；
其中所有正确的个数是（　　）
已知函数f（x）=（
3
sinωx+cosωx）cosωx-
1
2
（ω＞0）最小正周期为4π
（1）求f（x）的单调递增区间
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（2C）的取值范围．

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