Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为

x=tcosα y=tsinα.

（t为参数，α为直线l的倾斜角），圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0．若直线l与圆有公共点，则倾斜角α的范围为

[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）

．

Answer 1

分析：把直线的参数方程化为普通方程，把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离小于或等于半径，求得
sinα≤

1

2

，由此求出倾斜角α的范围．

解答：解：∵直线l的参数方程为

x=tcosα y=tsinα.

（t为参数，α为直线l的倾斜角），
消去参数t化为普通方程为 tanα•x-y=0．
圆的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0，化为直角坐标方程为 x²+y²-8x+12=0，即（x-4）²+y²=4，
表示以C（4，0）为圆心，以2为半径的圆．
根据圆心C到直线的距离d=

|4tanα|

1+tan2α

=

4|tanα|

|secα|

=4|tanα|•cosα|=4sinα≤2，解得sinα≤

1

2

．
再由倾斜角α∈[0，π） 可得，0≤α≤

π

6

或

5π

6

≤α＜π．
故倾斜角α的范围为[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π），
故答案为[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，根据三角函数的值求角，属于中档题．