题目内容
函数y=ln（aex-x+2a2-3）（e为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数a的取值范围是（ ）
分析：设g（x）=aex-x+2a2-3，则要求g（x）min≤0即可．利用导数研究g（x）的单调性，最值情况，进行作答．要注意对a进行分类讨论．
解答：解：设g（x）=aex-x+2a2-3，则g′（x）=aex-1．
①当a≤0时，g′（x）＜0在R上恒成立，g（x）在R上是减函数，
x→+∞时，g（x）→-∞，x→-∞时，g（x）→+∞，
此时g（x）值域为R．符合要求．
②当a＞0时，由g′（x）=0得x=-lna．
由g′（x）＜0得x＜-lna，g（x）在（-∞，-lna）上单调递减．
由g′（x）＞0得x＞-lna，g（x）在（-lna，+∞）上单调递增．
∴g（x）min=g（-lna）=2a2+lna-2．
下面研究g（x）最小值：
令h（a）=2a2+lna-2，则h′（a）=4a+
＞0（a＞0），h（a）在（0，+∞）上单调递增．
可知当a＞1时，g（x）min＞0，当a=1时，g（x）min=0，当a＜1时，g（x）min＜0，
而x→+∞时，g（x）→+∞．所以0＜a≤1．
综上所述，实数a的取值范围是a≤0或0＜a≤1，即a∈（-∞，1]．
故选：B．
①当a≤0时，g′（x）＜0在R上恒成立，g（x）在R上是减函数，
x→+∞时，g（x）→-∞，x→-∞时，g（x）→+∞，
此时g（x）值域为R．符合要求．
②当a＞0时，由g′（x）=0得x=-lna．
由g′（x）＜0得x＜-lna，g（x）在（-∞，-lna）上单调递减．
由g′（x）＞0得x＞-lna，g（x）在（-lna，+∞）上单调递增．
∴g（x）min=g（-lna）=2a2+lna-2．
下面研究g（x）最小值：
令h（a）=2a2+lna-2，则h′（a）=4a+
| 1 |
| a |
可知当a＞1时，g（x）min＞0，当a=1时，g（x）min=0，当a＜1时，g（x）min＜0，
而x→+∞时，g（x）→+∞．所以0＜a≤1．
综上所述，实数a的取值范围是a≤0或0＜a≤1，即a∈（-∞，1]．
故选：B．
点评：本题考查与对数有关的复合函数的性质，值域求解．考查分类讨论，运算求解能力．题目难度大，逻辑思维性强．
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