Question

用单调性定义证明：函数f(x)=x2+

2

x

在区间（0，1）内单调递减．

Answer 1

分析：任取区间（0，1）内两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，进而根据函数f(x)=x2+

2

x

，作差f（x₁）-f（x₂），分解因式后，根据实数的性质，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，即可得到结论．

解答：证明：任取区间（0，1）内两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂
则x₁+x₂＜2＜

2

x1x2

，即x₁+x₂-

2

x1x2

＜0，x₁-x₂＜0
则f（x₁）-f（x₂）=（x12+

2

x1

）-（x22+

2

x2

）=（x₁+x₂-

2

x1x2

）（x₁-x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故函数f(x)=x2+

2

x

在区间（0，1）内单调递减

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中对作差后的式子，进行因式分解，是利用定义法（作差法）证明函数单调性的难点．