题目内容
已知函数
.
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)<g(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)求导函数,可得f′(x)=2ax+
(x∈(0,+∞))
∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴f′(x)=0,∴2a+1=0,∴
∴f′(x)=-x+
令f′(x)>0,x>0可得0<x<1
∴函数f(x)的单调增区间为(0,1);
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=f′(x)-g′(x)=2ax+
-x-2a=
若a≥1,则x>1时,F′(x)>0,函数在(1,+∞)上单调增,F(x)<0不恒成立;
若
<a<1,则函数在(1,
)上F′(x)<0,在(
,+∞)上F′(x)>0,∴F(x)<0不恒成立;
若a
,则x>1时,F′(x)<0,函数在(1,+∞)上单调减,故只需要F(1)≤0
∴a-
-2a≤0
∴a≥-
∴
分析:(1)求导函数,利用函数f(x)在x=1处取得极值建立方程,可确定函数及导函数的解析式,利用导数大于0,即可得到函数f(x)的单调增区间;
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),求导函数,再进行分类讨论:a≥1,函数在(1,+∞)上单调增,F(x)<0不恒成立;
<a<1,同理可得F(x)<0不恒成立;若a
,函数在(1,+∞)上单调减,故只需要F(1)≤0,由此可得实数a的取值范围.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值与单调性,考查构造函数,考查分类讨论的数学思想,同时考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴f′(x)=0,∴2a+1=0,∴

∴f′(x)=-x+

令f′(x)>0,x>0可得0<x<1
∴函数f(x)的单调增区间为(0,1);
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=f′(x)-g′(x)=2ax+


若a≥1,则x>1时,F′(x)>0,函数在(1,+∞)上单调增,F(x)<0不恒成立;
若



若a

∴a-

∴a≥-

∴

分析:(1)求导函数,利用函数f(x)在x=1处取得极值建立方程,可确定函数及导函数的解析式,利用导数大于0,即可得到函数f(x)的单调增区间;
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),求导函数,再进行分类讨论:a≥1,函数在(1,+∞)上单调增,F(x)<0不恒成立;


点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值与单调性,考查构造函数,考查分类讨论的数学思想,同时考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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