题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）＜g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）求导函数，可得f′（x）=2ax+ $\text{[math]}$ （x∈（0，+∞））
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（x）=0，∴2a+1=0，∴ $\text{[math]}$
∴f′（x）=-x+ $\text{[math]}$
令f′（x）＞0，x＞0可得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调增区间为（0，1）；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x），则F′（x）=f′（x）-g′（x）=2ax+ $\text{[math]}$ -x-2a= $\text{[math]}$
若a≥1，则x＞1时，F′（x）＞0，函数在（1，+∞）上单调增，F（x）＜0不恒成立；
若 $\text{[math]}$ ＜a＜1，则函数在（1， $\text{[math]}$ ）上F′（x）＜0，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上F′（x）＞0，∴F（x）＜0不恒成立；
若a $\text{[math]}$ ，则x＞1时，F′（x）＜0，函数在（1，+∞）上单调减，故只需要F（1）≤0
∴a- $\text{[math]}$ -2a≤0
∴a≥- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）求导函数，利用函数f（x）在x=1处取得极值建立方程，可确定函数及导函数的解析式，利用导数大于0，即可得到函数f（x）的单调增区间；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x），求导函数，再进行分类讨论：a≥1，函数在（1，+∞）上单调增，F（x）＜0不恒成立； $\text{[math]}$ ＜a＜1，同理可得F（x）＜0不恒成立；若a $\text{[math]}$ ，函数在（1，+∞）上单调减，故只需要F（1）≤0，由此可得实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查构造函数，考查分类讨论的数学思想，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．