如图所示数阵.记an为数字n的个数.记An为an个数字n的和．已知数列{bn}满足bn=$\frac{1}{{A} {n}+5n}$.Bn为数列{bn}的前n项和.且Bn＜t恒成立．(1)an=2n-1,An=2n2-n,(2)已知椭圆C的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{2{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{t}^{2}}$=1．P为C的下顶点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图所示数阵，记a_n为数字n的个数，记A_n为a_n个数字n的和．已知数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{A}_{n}+5n}$，B_n为数列{b_n}的前n项和，且B_n＜t恒成立．
（1）a_n=2n-1；A_n=2n²-n；
（2）已知椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{t}^{2}}$=1（t＞0）．P为C的下顶点，过点P的直线l斜率为t．直线l过定点M，且与C交于另一点N．若PN的中点为E，求$\frac{EP}{MP}$的取值范围．

分析（1）由已知归纳可得a_n=2n-1，则A_n=a_n•n=2n²-n；
（2）由（1）可得b_n=$\frac{1}{{A}_{n}+5n}$=$\frac{1}{2{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用裂项相消法可得B_n=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），进而可得t≥$\frac{3}{8}$，求出$\frac{EP}{MP}$的表达式，进而可得答案．

解答解：（1）由a_n为数字n的个数，
可得：a₁=1，
a₂=3，
a₃=5，
a₄=7，
…
归纳可得：a_n=2n-1，
则A_n=a_n•n=2n²-n；
故答案为：2n-1，2n²-n；
（2）∵b_n=$\frac{1}{{A}_{n}+5n}$=$\frac{1}{2{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴B_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
若B_n＜t恒成立，则t≥$\frac{3}{8}$，
∵P为C的下顶点，故P点坐标为（0，-t），
过点P的直线l斜率为t直线l方程为：y=tx-t，
则l过定点M（1，0），且与C交于另一点N．
将y=tx-t代入$\frac{{x}^{2}}{2{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{t}^{2}}$=1得：（1+$\frac{1}{2{t}^{2}}$）x²-2x=0
则N点的横坐标x=$\frac{4{t}^{2}}{2{t}^{2}+1}$，
故PN=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\frac{4{t}^{2}}{2{t}^{2}+1}$，
若PN的中点为E，则EP=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\frac{2{t}^{2}}{2{t}^{2}+1}$，
MP=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，
∴$\frac{EP}{MP}$=$\frac{2{t}^{2}}{2{t}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{2{t}^{2}+1}$≥$\frac{9}{41}$，
又由$\frac{EP}{MP}$＜1，
可得：$\frac{EP}{MP}$∈[$\frac{9}{41}$，1）