题目内容

(04年福建卷理)(12分)

如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.

解析:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.

由y=x2,           ①

得y'=x.

∴过点P的切线的斜率k= x1

∴直线l的斜率kl=-=-

∴直线l的方程为y-x12=- (x-x1),

方法一:

联立①②消去y,得x2+x-x12-2=0.

∵M是PQ的中点

消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).

方法二:

由y1=x12,y2=x22,x0=

得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),

则x0==kl=-

∴x1=-

将上式代入②并整理,得

y0=x02++1(x0≠0),

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).

分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则

.

消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.      ③

方法一:

|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y1、y2可取一切不相等的正数,

的取值范围是(2,+).

方法二:

=|b|=|b|.

当b>0时,=b==+2>2;

当b<0时,=-b=.

又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0,

于是k2+2b>0,即k2>-2b.

所以>=2.

∵当b>0时,可取一切正数,

的取值范围是(2,+).

方法三:

由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP

=.

则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).

于是b==-x1x2.

==+=+≥2.

可取一切不等于1的正数,

的取值范围是(2,+).

 

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