题目内容

已知4个命题:
①若等差数列{an}的前n项和为Sn则三点(10,
S10
10
),(100,
S100
100
),(110,
S110
110
),共线;
②命题:“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”;
③若函数f(x)=x-
1
x
+k在(0,1)没有零点,则k的取值范围是k≥2,
④f(x)是定义在R上的奇函数,f′(x)>0,且f(2)=
1
2
,则xf(x)<1的解集为(-2,2).
其中正确的是
 
分析:利用三点连线的斜率关系判定①的正误;
直接写出命题的否命题即可判定②的正误;
利用函数的单调性,零点存在定理判定③的正误;
通过函数的导数,以及函数的性质,求出不等式的解集,判定④的正误,即可得到结论.
解答:解:①
S10
10
=
a1+a10
2
S100
100
=
a1+a100
2
S110
110
=
a1+a110
2
,设等差数列的公差为d,
S100
100
-
S10
10
100-10
=
a110-a10
2×90
=
d
2
S110
110
-
S100
100
110-100
=
a110-a100
2
10
=
d
2

即 前两个点连线的斜率等于后两个点连线的斜率,故三点共线,故①正确.
②根据命题的否定的定义,“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”;是正确的,故②正确.
③函数f(x)=x-
1
x
+k在(0,1)没有零点,故f′(x)=1+
1
x2
>0,所以函数在(0,1)内是增函数,x-
1
x
<0,当k≥2时,函数有零点,③不正确.
④f(x)是定义在R上的奇函数,f′(x)>0,且f(2)=
1
2
,所以x>0时,函数是恒为正值,f(0)=0,x<0时函数为负值,2f(2)=1,则xf(x)<1的解集为(-2,2).正确.
故答案为:①②④.
点评:本题是综合题,考查三点共线,命题的否定,零点,导数与不等式的知识,考查知识的灵活运应,是中档题.
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