题目内容

17．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．

分析 做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论

解答 证明：连接ON，则
∵PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB，
∵OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN，
∴PM2=PN2=PA•PC．

点评 本题要求证明一个PM2=PA•PC结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根据三角形相似对应边成比例来证明，这是一个基础题．

练习册系列答案
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7．有ab为两个运动，他们的合运动为c，则下列说法正确的是 （　　）
A．若a、b的轨迹为直线，则c的轨迹必为直线
B．若c的轨迹为直线，则a、b必为匀速运动
C．若a为匀速直线运动，b为匀速直线运动，则c必为匀速直线运动
D．若a、b均为初速度为零的匀变速直线运动，则c必为匀变速直线运动
8．已知实数x、y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{y≤2x}\\{y≥1}\end{array}}\right.$，则z=x-3y的最大值为-1．
5．已知等差数列{an}中a3=7，其前n项和Sn=pn2+2n，n∈N*．
（Ⅰ）求p的值及an；
（Ⅱ）在等比数列{bn}中，b3=a1，b6=4a10-3，若等比数列{an}的前n项和为Tn．求证：数列{Tn+$\frac{1}{6}$}为等比数列．
12．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．
2．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）-2，当x∈（0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x\;\;，\;\;x∈（{0，1}）\\ \frac{1}{x}\;，\;\;\;\;x∈[{1，2}]\end{array}$，若x∈（0，4]时，t2-$\frac{7t}{2}$≤f（x）≤3-t恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
A．[2，+∞）B．$（1，\frac{5}{2}）$C．$（2，\frac{5}{2}）$D．[1，2]
9．已知f（x）=$\frac{2x-m}{{{x^2}+1}}$定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=$\frac{1}{x}$称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α，β（α＜β）称为f（x）的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求αf（β）+βf（α）的值；
（3）判断函数y=f（x），x∈[α，β]的单调性，并证明．
6．设a=log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{1}{4}$，b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{4}{3}$，c=（$\frac{1}{2}$）0.3，则（　　）
A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞b＞a
7．已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的平面α、β，有下列四个命题：
①若m∥n，m?α，则n∥α；
②若n⊥α，m⊥β且m∥n则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，且n?β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确命题为（　　）
A．①②B．②④C．③④D．②③

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