Question

设f(x)= x e-2+x2 ，g(x)= ex x ，对?x1，x2∈R+，有 f(x1) k ≤ g(x2) k+1 恒成立，

则正数的k取值范围（　　）

A．（0，1）

B．（0，+∞）

C．[1，+∞）

D．[ 1 2e2-1 ，+∞)

Answer 1

当x＞0时，由基本不等式可得，f（x）=

x

e-2+x2

=

1

x+ 1 e2x

≤

1

2 x• 1 e2x

=

e

2

∵g(x)=

ex

x

∴g′(x)=

(x -1)ex

x2

当x≥1时，g′（x）≥0；x＜1时g′（x）＜0
∴g（x）在（-∞，1）单调递减，在[1，+∞）单调递增
从而可得当x=1时函数g（x）有最小值e
当x₁＞0，x₂＞0时，

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，且k＞0
则只要

f(x1)

k

 max≤

g(x2)

k+1

 min即可
即

e

2k

≤

e

k+1

，解可得k≥1
故选：C