题目内容
已知离心率为

(I)求椭圆及双曲线的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连结BP交椭圆于点M,连结PA并延长交椭圆于点N,若



【答案】分析:(Ⅰ)设出椭圆方程和双曲线方程,由椭圆的离心率是
,双曲线的焦距为2
联立方程组求出a和b的值,则椭圆及双曲线的方程可求;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中求出的椭圆方程求出A和B的坐标,设出M点的坐标,由
得M为BP的中点,从而求出P点坐标,把M的坐标代入椭圆方程,把P的坐标代入双曲线方程,联立后求出M和P的具体值,然后把四边形ANBM的面积转化为三角形ANB的面积求解.
解答:解:(I)设椭圆方程为
(a>b>0).
则根据题意,双曲线的方程为
,且满足
,解方程组得
∴椭圆的方程为
,双曲线的方程
;
(Ⅱ)由(I)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10.
设M(x,y),则由
得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x-5,2y),
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程,得
,
消去y,得
解之得
或x=5(舍)
所以
,由此可得
,
所以
.
当P为
时,直线PA的方程是
即
.
代入
,得2x2+15x+25=0
所以
或-5(舍),
所以
,xN=xM,MN⊥x轴.
所以
.
点评:本题主要考查了圆锥曲线的方程,直线与圆锥曲线的位置关系的应用,考查了数学转化思想方法,直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是难题.


(Ⅱ)由(Ⅰ)中求出的椭圆方程求出A和B的坐标,设出M点的坐标,由

解答:解:(I)设椭圆方程为

则根据题意,双曲线的方程为



∴椭圆的方程为


(Ⅱ)由(I)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10.
设M(x,y),则由

将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程,得

消去y,得

解之得

所以


所以

当P为


即

代入

所以

所以

所以

点评:本题主要考查了圆锥曲线的方程,直线与圆锥曲线的位置关系的应用,考查了数学转化思想方法,直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是难题.

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