Question

（2012•武清区一模）已知离心率

2

2

为的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与过点A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直线有且只有一个公共点M．
（1）求椭圆C的方程及点M的坐标；
（2）是否存在过点M的直线l，依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足

MN

=

1

3

QP

=

1

2

MP

，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率为

2

2

，可得a²=2b²，求出过点A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直线方程，与椭圆方程联立，利用过点A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直线与椭圆有且只有一个公共点M，即可求得椭圆C的方程及M的坐标；
（2）假设存在直线l，满足题意，根据直线l依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足

MN

=

1

3

QP

=

1

2

MP

，可得M，N是线段PQ的三等份点，求出N的坐标代入椭圆方程，即可得到结论．

解答：解：（1）∵椭圆的离心率为

2

2

∴

c

a

=

2

2

∴

a2-b2

a2

=

1

2

∴a²=2b²
∴椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1可化为：x²+2y²=2b²①
过点A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直线方程为

x

5

+

y

5 2 4

=1②
①②联立，消去x可得：10y2-20

2

y+25-2b2=0③
∵过点A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直线与椭圆有且只有一个公共点M
∴△=800-40（25-2b²）=0
∴b2=

5

2

，∴a²=5
∴椭圆C的方程为

x2

5

+

y2

5 2

=1
b2=

5

2

时，方程③的根为y=

2

，代入②可得x=1，∴M（1，

2

）
（2）假设存在直线l，满足题意．
∵直线l依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足

MN

=

1

3

QP

=

1

2

MP

，
∴M，N是线段PQ的三等分点
∵M（1，

2

），∴根据三角形的中位线的性质，可得N（2，

2

2

）
代入椭圆方程

x2

5

+

y2

5 2

=1，显然成立
∴存在直线l，满足题意，此时直线的方程为：y-

2

=

2 2 - 2

2-1

(x-1)
即x+

2

y-3=0

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题，将直线l依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足

MN

=

1

3

QP

=

1

2

MP

，转化为M，N是线段PQ的三等份点是解题的关键．