Question

B．选修4-2：矩阵与变换
设a＞0，b＞0，若矩阵A=

.

a 0 0 b

.

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；
（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-

π

6

）=a截得的弦长为2

3

，求实数a的值．

Answer 1

分析：B、（1）先确定矩阵A下，坐标之间的关系，再利用矩阵A=

a 0

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1，即可求得a，b的值；
（2）先求A的行列式的值，再计算A^-1；
C、化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理建立方程，即可求得结论．

解答：B．选修4-2：矩阵与变换
解：（1）设圆上点（m，n）在矩阵A下，变换为（x，y），则

a 0

=

x   y

∴m=

x

a

，n=

y

b

∵点（m，n）是圆上点，∴m²+n²=1，∴(

x

a

)2+(

y

b

)2=1
∵矩阵A=

a 0

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴a=2，b=

3

；
（2）A=

2 0

，|A|=2

3

，∴A^-1=

3 2 3 0

=

1 2 0

；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
解：圆C：ρ=4cosθ的直角坐标方程为：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4；
直线l：ρsin（θ-

π

6

）=a的直角坐标方程为：

3

x-y-a=0
∴圆心到直线的距离为

|2 3 -a|

2

∵圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-

π

6

）=a截得的弦长为2

3

，
∴3+（

|2 3 -a|

2

）²=4
∴a=2

3

±2．

点评：本题考查矩阵与变换，考查坐标系与参数方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．