题目内容

已知函数 $数学公式$ ，则|x₁+x₂|的最小值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：题干错误：x₁•x₂＞0，且f（x）+f（x₂）=0，应该 x₁•x₂＞0，且f（x₁）+f（x₂）=0．
利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为=-2 $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ），由题意可得|x₁+x₂|的最小值等于函数f（x）的绝对值最小的零点的2倍，求出函数f（x）的绝对值最小的零点，
即可求得结果．
解答：∵ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ sinx+ $\text{[math]}$ cosx）=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ -x）=-2 $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ），x₁•x₂＞0，且f（x₁）+f（x₂）=0，
∴x₁+x₂等于函数的零点的2倍，∴|x₁+x₂|的最小值等于函数f（x）的绝对值最小的零点的2倍．
∴令-2 $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ）=0 可得sin（x- $\text{[math]}$ ）=0，x- $\text{[math]}$ =kπ，k∈z．故函数f（x）的绝对值最小的零点为 $\text{[math]}$ ，故|x₁+x₂|的最小值为 $\text{[math]}$ ，
故选D．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，求函数的零点，体现了转化的数学思想，属于中档题．