Question

已知函数f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)时，则下列结论不正确的是（　　）

• A、?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
• B、?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根
• C、?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
• D、?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点

Answer 1

分析：通过函数的基本性质--奇偶性和单调性，对选项进行逐一验证即可．

解答：解：∵f（-x）=

-x

1+|x|

=-f（x）  故A中结论正确，排除A．
令m=

1

2

，|f（x）|=

1

2

，可解得，x=

1

2

或-

1

2

，故B中结论正确，排除B．
当x≥0时，f（x）=

x

1+x

，f'（x）=

1

(1+x)2

＞0，故原函数在[0，+∞）单调递增
当x＜0时，f（x）=

x

1-x

，f'（x）=

1

(1-x)2

＞0，故原函数在（-∞，0）单调递增
故函数在R上但单调递增，故C中结论正确，排除C．
故选D．

点评：本题主要考查函数的基本性质，即奇偶性、单调性问题．