题目内容

（理）已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在 $数学公式$ 上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

解：（1）f′（x）=1- $\text{[math]}$ ，
∵函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值
∴f′（1）=0，∴a=0
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，∴f（x）+2x=x²+b
∴x-lnx+2x=x²+b，∴x²-3x+lnx+b=0
设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）= $\text{[math]}$
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表

x	（0， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，1）	1	（1，2）	2
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗	b-2+ln2

∴当x=1时，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（ $\text{[math]}$ ）=b- $\text{[math]}$ -ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[ $\text{[math]}$ ，2]上恰有两个不相等的实数根
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ +ln2≤b≤2
分析：（1）先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f′（1）=0，解之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，故x²-3x+lnx+b=0，设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g（x），g（x）的变化情况，确定函数的最值，从而可建立不等式，即可求得结论．
点评：本题主要考查函数的极值以及根的存在性及根的个数判断，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度