Question

对于正整数，用表示的最大奇因数，如：，……. 记，其中是正整数.

（I）写出，，，并归纳猜想与N）的关系式；

（II）证明（I）的结论；

（Ⅲ）求的表达式.

Answer 1

（Ⅰ） 2、6、22    时，（Ⅲ）

解析:

（I），

 

   .   …………..3分

猜想时，.          ………………………………………5分

  （II）证明：若为奇数，则；

     若为偶数，则. 若为奇数，则；反之，若 为

偶数，则可重复上述步骤得到.   ………………………………………..7分

由此可知：时，

   .

 即当时，成立.     ………………………………………..10分

   （Ⅲ）由（I）知，当时，，故有

     

           ，也满足此式.  ……………………………13分

          故N，且.