Question

已知2^x≤16且log2x≥

1

2

，
（1）求x的取值范围；
（2）求函数f(x)=log2(

x

2

)•log

2

(

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）分别利用指数、对数函数的单调性即可求得x的范围，再取交集即可；
（2）根据对数运算性质对f（x）进行化简，然后转化为关于log₂x的二次函数，利用二次函数的性质可得函数的最值，注意x的范围；

解答：解：（1）因为2^x≤16=2⁴，所以x≤4；
又log2x≥

1

2

=log22

1

2

，所以x≥

2

，
故所求x的取值范围是

2

≤x≤4； 
（2）f(x)=log2(

x

2

)•log

2

(

x

2

)=(log2x-1)•(log

2

x

-log

2

2)
=（log₂x-1）•（log₂x-2）=(log2x)2-3log2x+2
=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，
由已知

1

2

≤log2x≤2，
所以，当log2x=

3

2

，即x=2

2

时，f（x）取得最小值-

1

4

；
当log2x=

1

2

，即x=

2

时，f（x）取得最大值

3

4

．

点评：本题考查对数的运算性质、函数的最值，考查学生的运算求解能力．