Question

设函数f（x）=e^xμ（x），
（I）若μ（x）=x²-

5

2

x+2的极小值；
（Ⅱ）若μ（x）=x²+ax-3-2a，设a＞0，函数g（x）=（a²+14）e^x+4，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的表达式，然后利用导数求函数的极小值．
（Ⅱ）要使|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，实质是求两个函数的最大值与最小值只差．分别利用导数求出函数f（x）和g（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=e^xμ（x）=（x²-

5

2

x+2）e^x，f′(x)=ex(x2-

1

2

x-

1

2

)，
令f'（x）=0，得x=-

1

2

或x=1．
由f'（x）＞0，得x＜-

1

2

或x＞1，此时函数递增．
f'（x）＜0，得-

1

2

＜x＜1，此时函数递减．
所以当x=1时，函数取得极小值f（1）=

1

2

e．
（Ⅱ）f（x）=e^xμ（x）=（x²+ax-3-2a）e^x，函数的导数为f'（x）=e^x[x²+（a+2）-（3+a）]=e^x（x-1）（x+3+a）．
当a＞0时，f（x）在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，
∴函数f（x）在区间[1，4]上的最小值为f（1）=-（a+2）e．
又∵f（0）=-（2a+3）＜0，f（4）=（2a+13）e⁴＞0，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的值域是[f（1），f（4）]，即[-（a+2）e，（2a+13）e⁴]（7分）
又g（x）=（a²+14）e^x+4在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[（a²+14）e⁴，（a²+14）e⁸]（9分）
∵（a²+14）e⁴-（2a+13）e⁴=（a²-2a+1）e⁴=（a-1）²e⁴≥0，
∴若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，只需要（a²+14）e⁴-（2a+13）e⁴＜1即可，
即（a-1）²e⁴＜1，(a-1)2＜

1

e4

，解得1-

1

e2

＜a＜1+

1

e2

，即a的取值范围(1-

1

e2

，1+

1

e2

)．

点评：本题的考点是利用导数研究函数的极小值以及求函数的最值问题．运算量非常大，综合性较强．