题目内容
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量
在矩阵M=
变换下得到的向量是
．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4
，
)，曲线C的参数方程为
（α为参数）．
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a，b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．
已知向量
|
|
|
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4
| 2 |
| π |
| 4 |
|
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a，b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．
（1）（Ⅰ）因为
=
，
所以，
=
，即m=1．…（3分）
（Ⅱ）因为M=
，所以M-1=
．…（4分）
设曲线y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
由
=
=
，…（5分）
所以
得
代入曲线y2-x+y=0得y'2=x'．…（6分）
由（x，y）的任意性可知，曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2=x．…（7分）
（2）（Ⅰ）由点M的极坐标为(4
，
)得点M的直角坐标为（4，4），
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
（α为参数）
化为普通方程为（x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
．…（7分）
（3）（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围-1＜a＜1．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以z=a2b=a•a•b≤(
)3=(
)3=33=27，…（6分）
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．…（7分）
|
|
|
所以，
|
|
（Ⅱ）因为M=
|
|
设曲线y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
由
|
|
|
|
所以
|
|
由（x，y）的任意性可知，曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2=x．…（7分）
（2）（Ⅰ）由点M的极坐标为(4
| 2 |
| π |
| 4 |
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
|
化为普通方程为（x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
| 2 |
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
| 2 |
（3）（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围-1＜a＜1．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以z=a2b=a•a•b≤(
| a+a+b |
| 3 |
| 2a+b |
| 3 |
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．…（7分）
练习册系列答案
世纪百通期末金卷系列答案
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，矩阵阵
，
，求在矩阵
作用下变换所得到的图形的面积.
(
为参数，
为常数且
)被以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，方程为
的曲线所截，求截得的弦长.
，求证：
.