Question

设{x}表示离x最近的整数，即若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，则{x}=m．
下面是关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域是R，值域是[0，

1

2

]；②函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

(k∈Z)对称；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

分析：①定义域、值域可由题意直接得到．
②通过验证f（

k

2

+x）=f（

k

2

-x）可知正确．
③由f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x-{x}}=f（x）可直接验证．

解答：解：①根据题意可直接得到定义域为R，值域为[0，

1

2

]
②验证f（

k

2

+x）=f（

k

2

-x）正确性即可
当k为偶数时，

k

2

为整数，∵f（

k

2

+x）=|

k

2

+x-{

k

2

+x}|=|x-{x}|
f（

k

2

-x）=|

k

2

-x-{

k

2

-x}|=|-x+{x}|=|x-{x}|=f（

k

2

+x）
当k为奇数时，

k-1

2

为整数
∵f（

k

2

+x）=|

k-1

2

+

1

2

+x-{

k-1

2

+

1

2

+x}|=|

1

2

+x-{

1

2

+x}|=|x-{x}|
f（

k

2

-x）=|

k-1

2

+

1

2

-x-{

k-1

2

+

1

2

-x}|=|

1

2

-x-{

1

2

-x}|=|x-{x}|=f（

k

2

+x）
y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

对称．
③∵f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x-{x}}=f（x）
∴f（x）是周期函数且最小正周期是1
故答案为：①②③

点评：本题主要考查函数的基本性质--定义域、值域、对称性、周期性．另外，函数的奇偶性、单调性也是经常被考到的对象，要引起重视．