Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S₃=15，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且bn=

Sn

n+c

，求非零常数c．
（3）若（2）中的{b_n}的前n项和为T_n，求证：2Tn-3bn-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质可得

3a1+ 3×2 2 d=15 a1+d+a1+4d=22

，求出a₁，d代入等差数列的通项公式可求a_n．
（2）代入等差数列的前n项和公式可求S_n，进一步可得b_n，然后结合等差数列的定义可得2b₂=b₁+b₃，从而可求c．
（3）先由配方法导出2T_n-3b_n-1＞4，再由均值定理导出

64bn

(n+9)bn+1

≤4，由此能证明2Tn-3bn-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，S₃=15，a₂+a₅=22，
∴

3a1+ 3×2 2 d=15 a1+d+a1+4d=22

，
解得a₁=1，d=4．
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）∵a₁=1，d=4，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n，
∵数列{b_n}是等差数列，且bn=

Sn

n+c

，
∴2（

2×22-2

2+c

）=

2×1-1

1+c

+

2×32-3

3+c

，
整理，得2c²+c=0，
∵c是非零常数，∴解得c=-

1

2

．
（3）由（2）得bn=

2n2-n

n- 1 2

=2n，
∴{b_n}的前n项和为T_n=2（1+2+3+…+n）=（n+1）n=n²+n，
∴2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4≥4，
但由于n=1时取等号，从而等号取不到，
∴2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4＞4，

∴

64bn

(n+9)bn+1

=

64×2n

(n+9)(2n+2)

=

64n

n2+10n+9

=

64

n+ 9 n +10

≤4，n=3时取等号．
∴2Tn-3bn-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

点评：本题考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用，考查了不等式的证明，解题时要认真审题，注意配方法和均值定理的合理运用．