题目内容

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m=2k，k∈N^*）满足条件a₁=-a_m，a₂=-a_m-1，…，a_m=-a₁即a_i=-a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“反对称数列”．
（1）请在下列横线上填入适当的数，使这6个数构成“反对称数列”：-8，，-2，，4，；
（2）设{c_n}是项数为30的“反对称数列”，其中c₁₆，c₁₇，c₁₈，…，c₃₀构成首项为-1，公比为2的等比数列．设T_n是数列{nc_n}的前n项和，则T₁₅=________．

解：（1）∵有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m=2k，k∈N^*）满足条件a₁=-a_m，a₂=-a_m-1，…，a_m=-a₁即a_i=-a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“反对称数列”．
∴a₁=-a₆，a₂=-a₅，a₃=-a₄，
∴a₆=-a₁=8，a₂=-a₅=4，a₄=-a₃=2
故答案为：-4，2，8
（2）∵{c_n}是项数为30的“反对称数列”，其中c₁₆，c₁₇，c₁₈，…，c₃₀构成首项为-1，公比为2的等比数列．
∴c₁，c₂，c₃，…，c₁₅构成末项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，首项为2¹⁴
T₁₅=c₁+2c₂+3c₃+…+15c₁₅
T₁₅=2¹⁴+2•2¹³+3•2¹²+…+15×1①
$\text{[math]}$ T₁₅=2¹³+2•2¹²+…+15× $\text{[math]}$ ②
①-②得 $\text{[math]}$ T₁₅=2¹⁴+2¹³+•2¹²+…+1-15× $\text{[math]}$
∴T₁₅=2¹⁶-17．
故答案为：2¹⁶-17
分析：（1）根据“反对称数列”的定义，可求出所求；
（2）根据“反对称数列”的定义可知c₁，c₂，c₃，…，c₁₅构成末项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，首项为2¹⁴，然后利用错位相消法求所求即可．
点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题．

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（1）2²⁰¹⁰-1 （2）2¹⁰⁰⁶-2 （3）2^m+1-2^2m-2010-1
其中正确命题的个数为（　　）

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其中命题正确的个数为（　　）

如果有穷数列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*）满足条件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，（i=1，2，…，n）我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1 和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列{b_n}是项数不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2009项和S₂₀₀₉所有可能为：①2²⁰⁰⁹-1 ②2（2²⁰⁰⁹-1）③3•2^m-1-2^2m-2010-1 ④2^m+1-2^2m-2009-1；其中正确的有（　　）个．

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