Question

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁．即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列“例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设{b_n}是项数为2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，2³，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2010项和S₂₀₁₀可以是
（1）2²⁰¹⁰-1     （2）2¹⁰⁰⁶-2       （3）2^m+1-2^2m-2010-1
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：由题意由于新定义了对称数列，且已知数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列b_n的前2010项利用等比数列的前n项和定义直接可求（1）（2）的正确与否；对于（3），先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和在利用减法的到需要的前201008项的和，即可判断．

解答：解：因为数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列b_n的前2010项可以是：①1，2，2²，2³…，2¹⁰⁰⁵，2¹⁰⁰⁵，…，2²，1．
所以前2010项和S₂₀₁₀=2×

1×(1-21005)

1-2

=2（2¹⁰⁰⁵-1），所以（1）错（2）对；
对于 （3）1，2，2²，…2^m-2，2^m-1，2 ^m-2，…，2，1，1，2，…2^m-2，2^m-1，2 ^m-2，…，2，1…m-1=2n+1，利用等比数列的求和公式可得：S₂₀₁₀=2^m+1-2^2m-2010-1，故（3）正确．
故为C

点评：本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用．