Question

对定义在实数集R上的函数f₁（x），f₂（x），令F（x）=f₁（x）+f₂（x），已知对任意不同的实数x₁，x₂，|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|．
（1）若y=f₁（x）是区间D上的增函数，能否确定y=F（x）是区间D上的增函数？若能够确定，说明理由；若不能，请举例说明；
（2）若y=f₂（x）是区间D上的增函数，能否确定y=F（x）是区间D上的增函数？若能够确定，说明理由；若不能，请举例说明；
（3）求函数f(x)=x2+

1

4x

(x＞0)的单调区间．

Answer 1

（1）设x₁＜x₂由y=f₁（x）是区间D上的增函数可得f₁（x₁）＜f₁（x₂）
①若f₂（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数
②若函数f₂（x₁）＞f₂（x₂），则由|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|可得，-f₁（x₁）+f₁（x₂）|＞f₂（x₁）-f₂（x₂）
∴f₁（x₁）+f₂（x₁）＜f₁（x₂）+f₂（x₂）即F（x₁）＜F（x₂）
综上可得函数F（X）为单调递增的函数
（2）例如函数f₁（x）=-3^x，f₂（x）=2^x，则F（x）=2^x-3^x不是单调递增函数
（3）f′(x)=2x-

1

4x2

=

8x3-1

4x2

∵x＞0由f′（x）≥0可得x≥

1

2

，f′（x）＜0可得0＜x＜

1

2

函数f（x）的单调增区间是[

1

2

，+∞），单调减区间是（0，

1

2

）