Question

4．已知正项数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3，a₂=6，{b_n}是等差数列，且对任意正整数n，都有b_n，$\sqrt{{a}_{n}}$，b_n+1成等比数列．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n=b_nb_n+1（n∈N^*），从而得到数列{b_n}是首项为$\sqrt{2}$，公差为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的等差数列，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由a_n=b_nb_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，得$\frac{1}{an}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），由此利用裂项法能求出S_n．

解答 解　（1）∵对任意正整数n，都有b_n，$\sqrt{an}$，b_n+1成等比数列，且数列{a_n}，{b_n}均为正项数列，
∴a_n=b_nb_n+1（n∈N^*）．
∵a₁=3，a₂=6，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}={b}_{1}{b}_{2}=3}\\{{a}_{2}={b}_{2}{b}_{3}=6}\end{array}\right.$，
又{b_n}为等差数列，即有b₁+b₃=2b₂，
解得b₁=$\sqrt{2}$，b₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴数列{b_n}是首项为$\sqrt{2}$，公差为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的等差数列．
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{\sqrt{2}（n+1）}{2}$（n∈N^*）．
（2）由（1）得，对任意n∈N^*，
a_n=b_nb_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
从而有$\frac{1}{an}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S_n=2[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=1-$\frac{2}{n+2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．