Question

设椭圆方程为x2+

y2

4

=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：设出直线l的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出x₁+x₂，利用直线方程表示出y₁+y₂，然后利用

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)求得

OP

的坐标，设出P的坐标，然后联立方程消去参数k求得x和y的关系式，P点轨迹可得．

解答：解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
椭圆：4x²+y²-4=0
由直线l：y=kx+1代入椭圆方程得到：
（4+k²）x²+2kx-3=0，
x₁+x₂=-

2k

4+k2

，y₁+y₂=

8

4+k2

，
由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)得：
（x，y）=

1

2

（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：

x= x1+x2 2 =- k 4+k2 y= y1+y2 2 = 4 4+k2

消去k得：4x²+y²-y=0
当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x²+y²-y=0．

点评：本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．