题目内容
已知直线l：x=my+1（m∈R）与椭圆C：
+
=1(t＞0)相交于E，F两点，与x轴相交于点B．，且当m=0时，|EF|=
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A的坐标为（-3，0），直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点．试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| t |
| 8 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A的坐标为（-3，0），直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点．试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由．
分析：（1）m=0时直线l的方程与椭圆方程联立解得E，F坐标，据|EF|=
得到关于t的方程，解出即可．
（2）由
消x得到关于y的一元二次方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），由韦达定理可用m表示y1，y2，根据已知条件可求出M，N坐标，判断以MN为直径的圆是否经过点B，只需判断是否有
⊥
，进而转化为是否有
•
=0，通过计算即可验证．
| 8 |
| 3 |
（2）由
|
| BM |
| BN |
| BM |
| BN |
解答：解：（1）当m=0时，直线l的方程为x=1，设点E在x轴上方，
由
，解得E（1，
），F（1，-
）．
所以|EF|=
=
，解得t=2．
所以椭圆C的方程为
+
=1．
（2）由
，得（2m2+9）y2+4my-16=0，显然m∈R．
设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=
．
x1=my1+1，x2=my2+1．
又直线AE的方程为y=
(x+3)，
由
，解得M（3，
），
同理得N（3，
）．又B（1，0），
所以
=（2，
），
=（2，
），
又因为
•
=（2，
）•（2，
）
=4+
=4+
=
=
=
=0．
所以
⊥
，所以以MN为直径的圆过点B．
由
|
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
所以|EF|=
4
| ||
| 3 |
| 8 |
| 3 |
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 2 |
（2）由
|
设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=
| -4m |
| 2m2+9 |
| -16 |
| 2m2+9 |
x1=my1+1，x2=my2+1．
又直线AE的方程为y=
| y1 |
| x1+3 |
由
|
| 6y1 |
| x1+3 |
同理得N（3，
| 6y2 |
| x2+3 |
所以
| BM |
| 6y1 |
| x1+3 |
| BN |
| 6y2 |
| x2+3 |
又因为
| BM |
| BN |
| 6y1 |
| x1+3 |
| 6y2 |
| x2+3 |
=4+
| 36y1y2 |
| (x1+3)(x2+3) |
| 36y1y2 |
| (my1+4)(my2+4) |
=
| 4(my1+4)(my2+4)+36y1y2 |
| m2y1y2+4m(y1+y2)+16 |
=
| -16(4m2+36)-16×4m2+16×4(2m2+9) |
| -32m2+16(2m2+9) |
=
| -64m2-576-64m2+128m2+576 |
| 9 |
所以
| BM |
| BN |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的标准方程，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，有一定难度．
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