Question

设a＞2，给定数列{x_n}，其中x₁=a，xn+1=

x 2 n

2(xn-1)

(n=1，2…)求证：
（1）x_n＞2，且

xn+1

xn

＜1(n=1，2…)；
（2）如果a≤3，那么xn≤2+

1

2n-1

(n=1，2…)．

Answer 1

分析：（1）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式x_n＞2当n=1时成立，再假设不等式x_n＞2当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式x_k+1＞2也成立，最后得到不等式x_n＞2对于所有的正整数n成立；
（2）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式xn≤2+

1

2n-1

当n=1时成立，再假设不等式xn≤2+

1

2n-1

当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式xn≤2+

1

2n-1

也成立，最后得到不等式xn≤2+

1

2n-1

对于所有的正整数n成立；

解答：证明：（1）①当n=1时，
∵x2=

x12

2(x1-1)

=x1+

(2-x1)x1

2(x1-1)

，
x2=

x12

2(x1-1)

=

4(x1-1)+x12 -4x1+4

2(x1-1)

=2+

(x1-2)2

2(x1-1)

，x₁=a＞2，
∴2＜x₂＜x₁．
结论成立．
②假设n=k时，结论成立，即2＜x_k+1＜x_k（k∈N⁺），
则xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=xk+1+

(2-xk+1)xk+1

2(xk+1-1)

＞x_k+1，
xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=2+

(xk+1-2)2

2(xk+1-1)

＞2．
∴2＜x_k+2＜x_k+1，
综上所述，由①②知2＜x_n+1＜x_n．
∴x _n＞2且

xn+1

xn

＜1．
（2）由条件x₁=a≤3知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k（k≥1）时成立
当n=k+1时，由条件及x_k＞2知xk+1≤1+

1

2k

?

x

2 k

≤2(xk-1)(2+

1

2k

)
?

x

2 k

-2(2+

1

2k

)xk+2(2+

1

2k

)≤0
?(xk-2)[xk-(2+

1

2k-1

)]≤0，
再由x_k＞2及归纳假设知，
上面最后一个不等式一定成立，
所以不等式xk+1≤2+

1

2k

也成立，
从而不等式xn≤2+

1

2n-1

对所有的正整数n成立

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．