Question

下面四个命题：
①已知函数且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②一组数据18，21，19，a，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；
③已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（-1）=0，则不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1}；
④在极坐标系中，圆ρ=-4cosθ的圆心的直角坐标是（-2，0）．
其中正确的是________．

Answer 1

②，④
分析：①注意分段函数在不同区间内的解析式不同，因此要讨论．②利用平均数公式先求出a，进而再利用方差的公式计算即可．
③根据题意画出图象即可求解．④利用极坐标与普通方程的互化公式即可求出．
解答：①∵f（a）+f（4）=4，f（2）==2，∴f（a）=2．当a≥0时，则f（a）=，∴，∴a=4；
当a＜0时，f（a）=，∴，∴a=-4．综上可知，a=±4．故①不正确．
②∵数据18，21，19，a，22的平均数是20，∴（18+21+19+a+22）÷5=20，解得a=20．
∴方差s²==2，故②正确．
③如图所示，∵函数f（x）是奇函数，∴其图象关于原点对称．∵f（-1）=0，∴f（1）=-f（-1）=0，f（0）=0，∴不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-1，或0＜x＜1}．故③不正确．
④由圆ρ=-4cosθ，∴ρ²=-4ρcosθ，即x²+y²+4x=0，∴（x+2）²+y²=4，∴圆ρ=-4cosθ的圆心的直角坐标是（-2，0）．

点评：本题综合考查了函数的性质、不等式、平均数与方差等内容，深刻理解以上内容是解决问题的关键．①