题目内容

如图,顺达架校拟在长为400m的道路OP的一侧修建一条训练道路,训练道路的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,200]的图象,且图象的最高点为,训练道路的后一部分为折线段MNP,为保证训练安全,限定∠MNP=120°.
(I)求曲线段OSM对应函数的解析式;
(II)应如何设计,才能使折线段训练道路MNP最长?最长为多少?

【答案】分析:(I)由题意可得,最高点S(150,100),故A=100,由 =150 求得ω,即可得到函数的解析式.
(II)当x=200时,y=150,故MP=250,设MN=m,NP=n,在△MNP中,由余弦定理可得=2502=(m+n)2-mn.由于 mn≤,当且仅当m=n时,取等号,可得0<m+n≤,从而求得 m+n的最大值.
解答:解:(I)由题意可得,最高点S(150,100),故A=100=150,ω=
故函数的解析式为 y=100sin (0≤x≤200).
(II)当x=200时,y=150,故MP==250,设MN=m,NP=n,在△MNP中,由余弦定理可得
MP2=2502=MN2+NP2-2MN•NP•cos120°=m2+n2+mn=(m+n)2-mn.
由于 mn≤,当且仅当m=n时,取等号,∴2502=(m+n)2-mn≥(m+n)2-
故有 0<m+n≤,即将折线段中MN与NP的长度设计为相等时,折线段训练道路MNP最长,
且最长为  米.
点评:本题主要考查解三角形的实际应用,余弦定理,以及基本不等式的应用,体现了数形结合的数学思想,属于难题.
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