题目内容
如图，顺达架校拟在长为400m的道路OP的一侧修建一条训练道路，训练道路的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0），x∈[0，200]的图象，且图象的最高点为S(150，100| 3 |
（I）求曲线段OSM对应函数的解析式；
（II）应如何设计，才能使折线段训练道路MNP最长？最长为多少？
分析：（I）由题意可得，最高点S（150，100
），故A=100
，由
•
=150 求得ω，即可得到函数的解析式．
（II）当x=200时，y=150，故MP=250，设MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得=2502=（m+n）2-mn．由于 mn≤
，当且仅当m=n时，取等号，可得0＜m+n≤
，从而求得 m+n的最大值．
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 2π |
| ω |
（II）当x=200时，y=150，故MP=250，设MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得=2502=（m+n）2-mn．由于 mn≤
| (m+n)2 |
| 4 |
500
| ||
| 3 |
解答：解：（I）由题意可得，最高点S（150，100
），故A=100
，
•
=150，ω=
．
故函数的解析式为 y=100
sin
x （0≤x≤200）．
（II）当x=200时，y=150，故MP=
=250，设MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得
MP2=2502=MN2+NP2-2MN•NP•cos120°=m2+n2+mn=（m+n）2-mn．
由于 mn≤
，当且仅当m=n时，取等号，∴2502=（m+n）2-mn≥（m+n）2-
，
故有 0＜m+n≤
，即将折线段中MN与NP的长度设计为相等时，折线段训练道路MNP最长，
且最长为
米．
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 2π |
| ω |
| π |
| 300 |
故函数的解析式为 y=100
| 3 |
| π |
| 300 |
（II）当x=200时，y=150，故MP=
| 1502+2002 |
MP2=2502=MN2+NP2-2MN•NP•cos120°=m2+n2+mn=（m+n）2-mn．
由于 mn≤
| (m+n)2 |
| 4 |
| (m+n)2 |
| 4 |
故有 0＜m+n≤
500
| ||
| 3 |
且最长为
500
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查解三角形的实际应用，余弦定理，以及基本不等式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于难题．
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，训练道路的后一部分为折线段MNP，为保证训练安全，限定∠MNP=120°．