题目内容
(12分)(2011•重庆)设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn(n∈N*).
(Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3.
(Ⅱ)求证:对k≥3有0≤ak≤.
(Ⅰ)S2=﹣2 (Ⅱ)见解析
解析试题分析:(Ⅰ)由题意,得S22=﹣2S2,由S2是等比中项知S2=﹣2,由此能求出S2和a3.
(Ⅱ)由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn,Sn≠1,an+1≠1,且,,由此能够证明对k≥3有0≤an﹣1≤.
解:(Ⅰ)由题意,
得S22=﹣2S2,
由S2是等比中项知S2≠0,
∴S2=﹣2.
由S2+a3=a3S2,解得.
(Ⅱ)证明:因为Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn,
由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn,
∴Sn≠1,an+1≠1,且,
从而对k≥3 有ak===①
因,且,
要证,由①,只要证
即证,即,
此式明显成立,因此.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
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