Question

【题目】定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞1﹣f′（x），f（0）=0，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex﹣1（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
B.（0，+∞）
C.（﹣∞，0）∪（1，+∞）
D.（﹣1，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f′（x）＞1﹣f（x），
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞ex﹣1，
∴g（x）＞﹣1，
又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=﹣1，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞）
故选：B．
构造函数g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．