题目内容

(I)已知
a
=(1,2),求与
a
平行且反向的单位向量坐标;
(Ⅱ)已知|
a
|=5,|
b
|=4,
a
b
的夹角为60°,如果(k
a
-
b
⊥(
a
+2
b
)
,求实数k的值.
分析:(I)设所求单位向量
b
=λ
a
=(λ,2λ)(λ<0),由|
b
|=1可得λ;
(Ⅱ)由(k
a
-
b
⊥(
a
+2
b
)
,得(k
a
-
b
•(
a
+2
b
)
=0,代入已知条件可得k值;
解答:解:(I)设所求单位向量
b
=λ
a
=(λ,2λ)(λ<0),
则|
b
|=
λ2+(2λ)2
=|
5
λ
|=1,解得λ=-
5
5

所以所求单位向量为(-
5
5
,-
2
5
5
);
(Ⅱ)因为(k
a
-
b
⊥(
a
+2
b
)

所以(k
a
-
b
•(
a
+2
b
)
=0,即k
a
2
+(2k-1)
a
b
-2
b
2
=0,
所以25k+(2k-1)×5×4×
1
2
-2×42=0,解得k=
14
15
点评:本题考查平面向量数量积的运算、单位向量、向量垂直的充要条件等知识,属中档题.
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