题目内容
【题目】已知椭圆:
的右焦点为
,且点
在椭圆
上.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵已知动直线过点
且与椭圆
交于
两点.试问
轴上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
轴上存在点
【解析】试题分析:(1)利用椭圆的定义求出a的值,进而可求b的值,即可得到椭圆的标准方程;(2)先利用特殊位置,猜想点Q的坐标,再证明一般性也成立即可
试题解析:(1)由题意知,
根据椭圆的定义得:
即
,
椭圆
的标准方程为
(2)假设在轴上存在点
,使得
恒成立.
① 当直线的斜率为
时,
,
.
则
解得.
② 当直线的斜率不存在时,
,
.
则
解得或
③ 由①②可知当直线的斜率为
或不存在时,
使得
成立.
下面证明即
时
恒成立.
设直线的斜率存在且不为
时,直线
方程为
,
,
由,可得
,
∴
综上所述:在轴上存在点
,使得
恒成立.
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