题目内容
已知点P1(x0,y0)为双曲线x2 |
8b2 |
y2 |
b2 |
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB,QD分别交y轴于M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.
分析:(1)由已知得F2(3b,0),A(
b,y0),则直线F2A的方程为:y=
(x-3b),令x=0得P2(0,9y0),设P(x,y),则
,由此能求出P的轨迹E的方程.
(2)在
-
=1中,令y=0得x2=2b2,设B(-
b,0),D(
b,0),直线QB的方程为:y=
(x+
b),直线QD的方程为:y=
(x-
b),则M(0,
),N(0,
),由此能导出以MN为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).
8 |
3 |
3y0 |
b |
|
(2)在
x2 |
2b2 |
y2 |
25b2 |
2 |
2 |
y1 | ||
x1+
|
2 |
y1 | ||
x1-
|
2 |
| ||
x1+
|
-
| ||
x1-
|
解答:解:(1)由已知得F2(3b,0),A(
b,y0),则直线F2A的方程为:y=
(x-3b),
令x=0得y=9y0,即P2(0,9y0),
设P(x,y),则
,即
代入
-
=1得:
-
=1,
即P的轨迹E的方程为
-
=1.
(2)在
-
=1中令y=0得x2=2b2,则不妨设B(-
b,0),D(
b,0),
于是直线QB的方程为:y=
(x+
b),∴直线QD的方程为:y=
(x-
b),
则M(0,
),N(0,
),
则以MN为直径的圆的方程为:x2+(y-
)•(y+
)=0,
令y=0得:x2=
,而Q(x1,y1)在
-
=1上,则x12-2b2=
y12,
于是x=±5b,即以MN为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).
8 |
3 |
3y0 |
b |
令x=0得y=9y0,即P2(0,9y0),
设P(x,y),则
|
|
x02 |
8b2 |
y02 |
b2 |
4x2 |
8b2 |
y2 |
25b2 |
即P的轨迹E的方程为
x2 |
2b2 |
y2 |
25b2 |
(2)在
x2 |
2b2 |
y2 |
25b2 |
2 |
2 |
于是直线QB的方程为:y=
y1 | ||
x1+
|
2 |
y1 | ||
x1-
|
2 |
则M(0,
| ||
x1+
|
-
| ||
x1-
|
则以MN为直径的圆的方程为:x2+(y-
| ||
x1+
|
| ||
x1-
|
令y=0得:x2=
2b2y12 |
x12-2b2 |
x2 |
2b2 |
y2 |
25b2 |
2 |
25 |
于是x=±5b,即以MN为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).
点评:本题考查轨迹方程的求法和求证以MN为直径的圆过两定点.解题时要要认真审题,熟练掌握圆锥曲线的性质,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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