题目内容

精英家教网已知点P1(x0,y0)为双曲线
x2
8b2
-
y2
b2
=1
(b为正常数)上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于P2
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB,QD分别交y轴于M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.
分析:(1)由已知得F2(3b,0),A(
8
3
b,y0)
,则直线F2A的方程为:y=
3y0
b
(x-3b)
,令x=0得P2(0,9y0),设P(x,y),则
x=
x0
2
y=
x0+9y0
2
=5y0
,由此能求出P的轨迹E的方程.
(2)在
x2
2b2
-
y2
25b2
=1
中,令y=0得x2=2b2,设B(-
2
b,0),D(
2
b,0)
,直线QB的方程为:y=
y1
x1+
2
b
(x+
2
b)
,直线QD的方程为:y=
y1
x1-
2
b
(x-
2
b)
,则M(0,
2
by1
x1+
2
),N(0,
-
2
by1
x1-
2
b
),由此能导出以MN为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).
解答:解:(1)由已知得F2(3b,0),A(
8
3
b,y0)
,则直线F2A的方程为:y=
3y0
b
(x-3b)

令x=0得y=9y0,即P2(0,9y0),
设P(x,y),则
x=
x0
2
y=
x0+9y0
2
=5y0
,即
x0=2x
y0=
y
5
代入
x02
8b2
-
y02
b2
=1
得:
4x2
8b2
-
y2
25b2
=1

即P的轨迹E的方程为
x2
2b2
-
y2
25b2
=1

(2)在
x2
2b2
-
y2
25b2
=1
中令y=0得x2=2b2,则不妨设B(-
2
b,0),D(
2
b,0)

于是直线QB的方程为:y=
y1
x1+
2
b
(x+
2
b)
,∴直线QD的方程为:y=
y1
x1-
2
b
(x-
2
b)

则M(0,
2
by1
x1+
2
),N(0,
-
2
by1
x1-
2
b
),
则以MN为直径的圆的方程为:x2+(y-
2
by1
x1+
2
b
)•(y+
2
by1
x1-
2
b
)=0

令y=0得:x2=
2b2y12
x12-2b2
,而Q(x1,y1)在
x2
2b2
-
y2
25b2
=1
上,则x12-2b2=
2
25
y12

于是x=±5b,即以MN为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).
点评:本题考查轨迹方程的求法和求证以MN为直径的圆过两定点.解题时要要认真审题,熟练掌握圆锥曲线的性质,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网