题目内容
已知点P1(x0,y0)为双曲线
-
=1(b>0,b为常数)上任意一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)是否存在过点F2的直线l,使直线l与(1)中轨迹在y轴右侧交于R1、R2两不同点,且满足
•
=4b2,(O为坐标原点),若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由;
(3)设(1)中轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB、QD分别交y轴于M、N点,求证:以MN为直径的圆恒过两个定点.
x2 |
3b2 |
y2 |
b2 |
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)是否存在过点F2的直线l,使直线l与(1)中轨迹在y轴右侧交于R1、R2两不同点,且满足
OR1 |
OR2 |
(3)设(1)中轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB、QD分别交y轴于M、N点,求证:以MN为直径的圆恒过两个定点.
分析:(1)设点P的坐标为(x,y),点A(
,y0),F2(2b,0).所以,直线AF2的方程为y=
(x-2b),由此能求出线段P1P2的中点P的轨迹E的方程.
(2)假设符合题意的直线l存在,显然直线l斜率不为0,而F2(2b,0),设直线l的方程为x=ky+2b,点R1(x3,y3)、R2(x2,y2),由
⇒(k2-
)y2+4kby+
b2=0,由此推导出k2=
与k2<
矛盾,故不存在符合题意的直线.
(3)因为轨迹E的方程为:
-
=1,令y=0,则有x=±
b.设B(-
b,0),D(
b,0),则直线QB的方程为y(x1+
b)=y1(x+
b),令x=0,得M(0,
),直线QD的方程为y(x1-
b)=y1(x-
b),令x=0,得N(0,
),以MN为直径的圆的方程为x2+(y-
)(y-
)=0,由此能够证明以MN为直径的圆恒过两个定点.
3b |
2 |
2y0 |
-b |
(2)假设符合题意的直线l存在,显然直线l斜率不为0,而F2(2b,0),设直线l的方程为x=ky+2b,点R1(x3,y3)、R2(x2,y2),由
|
3 |
25 |
13 |
4 |
13 |
19 |
3 |
25 |
(3)因为轨迹E的方程为:
4x2 |
3b2 |
4y2 |
25b2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||||
x1+
|
| ||
2 |
| ||
2 |
-
| ||||
x1-
|
| ||||
x1+
|
-
| ||||
x1-
|
解答:解:(1)设点P的坐标为(x,y),
由题意可知,点A(
,y0),F2(2b,0)
所以,直线AF2的方程为y=
(x-2b),
令x=0,得y=4y0,
即点P2的坐标为(0,4y0)
∴
,可得
,
而点P1(x0,y0)在双曲线上,
所以
-
=1,
即线段P1P2的中点P的轨迹E的方程为:
-
=1…4分
(2)假设符合题意的直线l存在,显然直线l斜率不为0,而F2(2b,0),
故可设直线l的方程为x=ky+2b,点R1(x3,y3)、R2(x2,y2),
由
⇒(k2-
)y2+4kby+
b2=0,
显然,k2-
≠0,
∴
,
由题可知,y2y3=
<0,
所以k2<
.
由已知
•
=x2x3+y2y3=(k2+1)y2y3+2kb(y2+y3)+4b2=4b2,
∴
-
=0,
即k2=
与k2<
矛盾
故不存在符合题意的直线…9分
(3),因为(Ⅰ)中轨迹E的方程为:
-
=1,
令y=0,则有x=±
b
不妨设B(-
b,0),D(
b,0),
则直线QB的方程为y(x1+
b)=y1(x+
b),
令x=0,得M(0,
),
直线QD的方程为y(x1-
b)=y1(x-
b),
令x=0,得N(0,
),
以MN为直径的圆的方程为x2+(y-
)(y-
)=0,
即x2+y2+
y-
=0,
点Q(x1,y1)在曲线E上,则有x2-
=
,
所以,以MN为直径的圆的方程为x2+y2+
y-
=0,
当y=0时,恒有x=±
b,即证以MN为直径的圆恒过两个定点(±
b,0).…14分
由题意可知,点A(
3b |
2 |
所以,直线AF2的方程为y=
2y0 |
-b |
令x=0,得y=4y0,
即点P2的坐标为(0,4y0)
∴
|
|
而点P1(x0,y0)在双曲线上,
所以
4x2 |
3b2 |
4y2 |
25b2 |
即线段P1P2的中点P的轨迹E的方程为:
4x2 |
3b2 |
4y2 |
25b2 |
(2)假设符合题意的直线l存在,显然直线l斜率不为0,而F2(2b,0),
故可设直线l的方程为x=ky+2b,点R1(x3,y3)、R2(x2,y2),
由
|
3 |
25 |
13 |
4 |
显然,k2-
3 |
25 |
∴
|
由题可知,y2y3=
13b2 | ||
4(k2-
|
所以k2<
3 |
25 |
由已知
OR1 |
OR2 |
∴
13b2(k2+1) | ||
4(k2-
|
8k2b2 | ||
k2-
|
即k2=
13 |
19 |
3 |
25 |
故不存在符合题意的直线…9分
(3),因为(Ⅰ)中轨迹E的方程为:
4x2 |
3b2 |
4y2 |
25b2 |
令y=0,则有x=±
| ||
2 |
不妨设B(-
| ||
2 |
| ||
2 |
则直线QB的方程为y(x1+
| ||
2 |
| ||
2 |
令x=0,得M(0,
| ||||
x1+
|
直线QD的方程为y(x1-
| ||
2 |
| ||
2 |
令x=0,得N(0,
-
| ||||
x1-
|
以MN为直径的圆的方程为x2+(y-
| ||||
x1+
|
-
| ||||
x1-
|
即x2+y2+
| ||
x12-
|
| ||
x12-
|
点Q(x1,y1)在曲线E上,则有x2-
3b2 |
4 |
3y12 |
25 |
所以,以MN为直径的圆的方程为x2+y2+
25b2 |
2y1 |
25b2 |
4 |
当y=0时,恒有x=±
5 |
2 |
5 |
2 |
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,综合性强,难度大,是高考的重点.易错点是计算量大,容易粗心大意导致失误.解题时要认真审题,注意解题能力的培养.
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