题目内容

已知点P1(x0,y0)为双曲线
x2
3b2
-
y2
b2
=1(b>0,b为常数)
上任意一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)是否存在过点F2的直线l,使直线l与(1)中轨迹在y轴右侧交于R1、R2两不同点,且满足
OR1
OR2
=4b2
,(O为坐标原点),若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由;
(3)设(1)中轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB、QD分别交y轴于M、N点,求证:以MN为直径的圆恒过两个定点.
分析:(1)设点P的坐标为(x,y),点A(
3b
2
y0),F2(2b,0)
.所以,直线AF2的方程为y=
2y0
-b
(x-2b)
,由此能求出线段P1P2的中点P的轨迹E的方程.
(2)假设符合题意的直线l存在,显然直线l斜率不为0,而F2(2b,0),设直线l的方程为x=ky+2b,点R1(x3,y3)、R2(x2,y2),由
4x2
3b2
-
4y2
25b2
=1
x=ky+2b
⇒(k2-
3
25
)y2+4kby+
13
4
b2=0
,由此推导出k2=
13
19
k2
3
25
矛盾,故不存在符合题意的直线.
(3)因为轨迹E的方程为:
4x2
3b2
-
4y2
25b2
=1
,令y=0,则有x=±
3
2
b
.设B(-
3
2
b,0),D(
3
2
b,0)
,则直线QB的方程为y(x1+
3
2
b)=y1(x+
3
2
b)
,令x=0,得M(0,
3
2
by1
x1+
3
2
b
)
,直线QD的方程为y(x1-
3
2
b)=y1(x-
3
2
b)
,令x=0,得N(0,
-
3
2
by1
x1-
3
2
b
)
,以MN为直径的圆的方程为x2+(y-
3
2
by1
x1+
3
2
b
)(y-
-
3
2
by1
x1-
3
2
b
)=0
,由此能够证明以MN为直径的圆恒过两个定点.
解答:解:(1)设点P的坐标为(x,y),
由题意可知,点A(
3b
2
y0),F2(2b,0)

所以,直线AF2的方程为y=
2y0
-b
(x-2b)

令x=0,得y=4y0
即点P2的坐标为(0,4y0
 
x=
x0
2
y=
y0+4y0
2
,可得
x0=2x
y0=
2
5
y

而点P1(x0,y0)在双曲线上,
所以
4x2
3b2
-
4y2
25b2
=1

即线段P1P2的中点P的轨迹E的方程为:
4x2
3b2
-
4y2
25b2
=1
…4分
(2)假设符合题意的直线l存在,显然直线l斜率不为0,而F2(2b,0),
故可设直线l的方程为x=ky+2b,点R1(x3,y3)、R2(x2,y2),
4x2
3b2
-
4y2
25b2
=1
x=ky+2b
⇒(k2-
3
25
)y2+4kby+
13
4
b2=0

显然,k2-
3
25
≠0

△>0
y2+y3=
-4kb
k2-
3
25
y2y3=
13b2
4(k2-
3
25
)

由题可知,y2y3=
13b2
4(k2-
3
25
)
<0

所以k2
3
25

由已知
OR1
OR2
=x2x3+y2y3=(k2+1)y2y3+2kb(y2+y3)+4b2=4b2

13b2(k2+1)
4(k2-
3
25
)
-
8k2b2
k2-
3
25
=0

k2=
13
19
k2
3
25
矛盾
故不存在符合题意的直线…9分
(3),因为(Ⅰ)中轨迹E的方程为:
4x2
3b2
-
4y2
25b2
=1

令y=0,则有x=±
3
2
b

不妨设B(-
3
2
b,0),D(
3
2
b,0)

则直线QB的方程为y(x1+
3
2
b)=y1(x+
3
2
b)

令x=0,得M(0,
3
2
by1
x1+
3
2
b
)

直线QD的方程为y(x1-
3
2
b)=y1(x-
3
2
b)

令x=0,得N(0,
-
3
2
by1
x1-
3
2
b
)

以MN为直径的圆的方程为x2+(y-
3
2
by1
x1+
3
2
b
)(y-
-
3
2
by1
x1-
3
2
b
)=0

x2+y2+
3
2
b2y1
x12-
3
4
b2
y-
3
4
b2y12
x12-
3
4
b2
=0

点Q(x1,y1)在曲线E上,则有x2-
3b2
4
=
3y12
25

所以,以MN为直径的圆的方程为x2+y2+
25b2
2y1
y-
25b2
4
=0

当y=0时,恒有x=±
5
2
b
,即证以MN为直径的圆恒过两个定点
5
2
b,0)
.…14分
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,综合性强,难度大,是高考的重点.易错点是计算量大,容易粗心大意导致失误.解题时要认真审题,注意解题能力的培养.
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