Question

（2012•济宁一模）已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，

3

2

）时，f（x）=sinπx，f（

3

2

）=0，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（　　）

A．9

B．7

C．5

D．3

Answer 1

分析：由题意知当x∈(0，

3

2

)时f（x）=sinπx，求出f（x）=0的根，再由条件和奇函数的性质，求出一个周期[-

3

2

，

3

2

]内函数零点的个数，根据f（x）是定义域为R的周期为3函数，根据周期性进行求出在区间[0，6]上的零点即可．

解答：解：由题意得当x∈(0，

3

2

)时，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f(

3

2

)=0，
∴在区间[-

3

2

，

3

2

]上有f（-1）=f（1）=f（-

3

2

）=f（

3

2

）=0，且f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，

3

2

，2，3，4，

9

2

，5，6，共9个．
故选A．

点评：本题考查了函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键结论“若奇函数经过原点，则必有f（0）=0”应用，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为7个，若区间为半开半闭区间，则答案为8个，故要注意对端点的分析．