题目内容
已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).(Ⅰ)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的导函数f′(x)满足:当|x|≤1时,有|f′(x)|≤恒成立,求函数f(x)的解析表达式;
(Ⅲ)若0<a<b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值,且a+b=,证明:与不可能垂直.
答案:解:(Ⅰ)f(x)=x3-2x2+x,
f′(x)=3x2-4x+1
令f′(x)≥0得3x2-4x+1≥0,
解得x≤或x≥1,
故f(x)的增区间(-∞,]和[1,+∞)
(Ⅱ)f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab
当x∈[-1,1)时,恒有|f′(x)|≤.
故有≤f′(1)≤,≤f′(-1)≤,
及≤f′(0)≤,
即
①+②,得≤ab≤,
又由③,得ab=,将上式代回①和②,
得a+b=0,
故f(x)=x3-x.
(Ⅲ)假设⊥,
即·=(s,f(x))·(t,f(t))=st+f(s)f(t)=0
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,
由s,t为f′(x)=0的两根可得,
s+t=(a+b),st=,(0<a<b)
从而有ab(a-b)2=9.
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab
=
即a+b≥,这与a+b<矛盾.
故与不可能垂直.
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