Question

已知函数f（x）=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x；g（x）=

1-m•2x

1+m•2x

．
（I）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（II）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤3成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=1时，f（x）=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，根据f（x）在（-∞，0）上递减，可求f（x）在（-∞，0）的值域；
（II）由题意知，对任意x∈[0，+∞），总有-3≤f（x）≤3成立，分离参数可得-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，从而[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min，由此可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）先判断g（x）在[0，1]上递减，即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

，再分类讨论，即可确定M的取值范围．

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x；
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）
（II）由题意知，对任意x∈[0，+∞），总有-3≤f（x）≤3成立．
∴-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min
设2^x=t，则t≥1，设h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，
∴h′(t)=-4+

1

t2

＜0，p′（t）=2+

1

t2

＞0
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增
∴在[1，+∞）上，h（t）_max=h（1）=-5，p（t）_min=p（1）=1
∴实数a的取值范围为[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）=

1-m•2x

1+m•2x

=-1+

2

1+m•2x

．
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

①当|

1-2m

1+2m

|≤|

1-m

1+m

|，即m∈（0，

2

2

]时，|g(x)|≤|

1-m

1+m

|，此时，M≥|

1-m

1+m

|
②当|

1-2m

1+2m

|＞|

1-m

1+m

|，即m∈（

2

2

，+∞）时，|g(x)|≤|

1-2m

1+2m

|，此时，M≥|

1-2m

1+2m

|
综上所述，m∈（0，

2

2

]时，M的取值范围为[|

1-m

1+m

|，+∞)；m∈（

2

2

，+∞）时，M的取值范围为[|

1-2m

1+2m

|，+∞)．

点评：本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是转化为求函数的最值．