Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵．
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（II）若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M的作用下变换成曲线C'：x²-2y²=1，求a+b的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为（α为参数），点Q极坐标为．
（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x+1|+|x-2|．
（Ⅰ）求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥4的解集为A，求集合A．

Answer 1

【答案】分析：（1）（I）设矩阵M的逆矩阵，则，建立方程组，即可求得所求的逆矩阵；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'（x'，y'），可得，利用点P'（x'，y'）在曲线C'上，可得曲线C的方程，根据已知曲线C的方程，比较系数可得结论；
（2）（I）先求圆C的普通方程，展开，再化为极坐标方程；
（II）点Q的直角坐标为（2，-2），且点Q在圆C内，求出，可得P，Q两点距离的最小值；
（3）（I）利用绝对值的运用，写出分段函数，从而可求y=f（x）的最小值；
（II）利用分段函数，根据f（x）≥4，列出不等式，即可求得不等式f（x）≥4的解集．
解答：（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
解：（I）设矩阵M的逆矩阵，则．又，
所以，所以x₁+2x₂=1，3x₁+x₂=0，y₁+2y₂=0，3y₁+y₂=1，
即，
故所求的逆矩阵．…（4分）
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'（x'，y'），则，即，…（5分）
又点P'（x'，y'）在曲线C'上，所以x'²-2y'²=1，则（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为x²+4xy+2y²=1，
比较系数可得，解得b=0，a=2，∴a+b=2．…（7分）
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I）圆C普通方程为（x-1）²+（y+1）²=4，
展开得x²+y²-2x+2y-2=0，…（2分）
化为极坐标方程为ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0．      …（4分）
（II）点Q的直角坐标为（2，-2），且点Q在圆C内，
因为，所以P，Q两点距离的最小值为．    …（7分）
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
解：（I）所以y=f（x）的最小值为3．…（4分）
（II） 由（I）可知，当x≤-1时，f（x）≥4，即-2x+1≥4，此时；
当x≥2时，f（x）≥4，即2x-1≥4，此时．
因此不等式f（x）≥4的解集为A为{|或}．      …（7分）
点评：本题考查选修知识，考查矩阵与变换，考查坐标系与参数方程，考查不等式选讲，综合性强．