Question

【题目】已知椭圆，点在椭圆上，过点作斜率为的直线恰好与椭圆有且仅有一个公共点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点为椭圆的长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于不同的两点，，是否存在常数，使成等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在满足条件的常数，.

【解析】

（1）由点在椭圆上，可求出，联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆只有一个交点可得，从而可求出 的值，进而可求椭圆的方程.

（2）设直线与椭圆的交点，，写出过点斜率为的直线方程为，与椭圆方程联立，可得，，， ，当成等差数列时，，即，整理得，从而可求出 的值.

（1）解：因为点在椭圆上，所以，解得，椭圆方程为，

过点作的斜率为的直线方程为，与椭圆方程进行联立，即

，整理得，，因为直线和椭圆有一个交点，

此时 ，解得，所以的方程为.

（2）设直线与椭圆的交点，，

则过点斜率为的直线方程为，与椭圆方程进行联立得

，整理得，，由韦达定理知，

，，， ，

当成等差数列时，，即

，整理得

，则

整理得，，解得或（舍去）

所以当时，成等差数列.