Question

如图，三棱柱的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A₁B₁的中点。


（I）求证：B₁C//平面AC₁M；
（II）求证：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

解析试题分析：（1）由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体的实际形状时，一般以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（3）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键.
试题解析：


证明：（I）由三视图可知三棱柱为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且，
连结A₁C，设。连结MO，
由题意可知A₁O=CO，A₁M=B₁M，所以 MO//B₁C．       
又平面;平面，
所以平面                                     6分
（II），又为的中点，  
平面，平面    
又平面  所以平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B         12分
考点：(1)直线与平面平行的判定；（2）平面与平面垂直的判定.