题目内容
5．已知点A（0，1），直线l：y=kx+m与圆O：x2+y2=1交于B，C两点，△ABC与△OBC的面积分别为S1，S2，若S1≥2S2，且∠BAC=60°，则k的取值范围是（ ）| A． | [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$] | B． | （-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞） | C． | [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$] | D． | （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞） |
分析 利用S1≥2S2，求得m的范围，再利用S△OBC，可得|m-1|≥$\sqrt{1+{k}^{2}}$，即可确定k的取值范围．
解答 解：设圆心、点A到直线的距离分别为d，d′，则
d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d′=$\frac{|m-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{d′}{d}$=$\frac{|m-1|}{|m|}$≥2，
∴-1≤m≤$\frac{1}{3}$，（m=0时也满足）
∵S△OBC=$\frac{1}{2}•OB•OC•sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$BC=\sqrt{3}$，
∴S1=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$$\frac{|m-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴|m-1|≥$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∴$\sqrt{1+{k}^{2}}$≤2，
∴-$\sqrt{3}$≤k≤$\sqrt{3}$，
故选：A．
点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目