题目内容

（1）若对于任意的n∈N^，总有 $数学公式$ 成立，求常数A，B的值；
（2）在数列{a_n}中， $数学公式$ ， $数学公式$ （n≥2，n∈N^），求通项a_n；
（3）在（2）题的条件下，设 $数学公式$ ，从数列{b_n}中依次取出第k₁项，第k₂项，…第k_n项，按原来的顺序组成新的数列{c_n}，其中 $数学公式$ ，其中k₁=m，k_n+1-k_n=r∈N^*．试问是否存在正整数m，r使 $数学公式$ 且 $数学公式$ 成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．

解：（1）由题设得A（n+1）+Bn=n+2即（A+B）n+A=n+2恒成立，
所以 $\text{[math]}$ A=2，B=-1．（4分）
（2）由题设 $\text{[math]}$ （n≥2）又 $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为2的等比数列，（8分）
所以 $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ 为所求．（9分）
（3）假设存在正整数m，r满足题设，由（2）知 $\text{[math]}$
显然 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 即{c_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．（11分）
于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（12分）
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，m，r∈N^*，
所以2^m-2^m-r=14或15，（14分）
当2^m-2^m-r=14时，m=4，r=3；
当2^m-2^m-r=15时，m=4，r=4；
综上，存在正整数m，r满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．（16分）
分析：（1）由题设得（A+B）n+A=n+2恒成立，所以 $\text{[math]}$ A=2，B=-1．
（2）由 $\text{[math]}$ （n≥2）和 $\text{[math]}$ 知， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，由此能推导出 $\text{[math]}$ ．
（3）假设存在正整数m，r满足题设，由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能推导出存在正整数m，r满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．
点评：本题考查数列中参数的求法、等差数列的通项公式和以极限为载体考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．