Question

设

a

=( a1 ， a2)，

b

=( b1 ， b2)，定义一种向量运算：

a

?

b

=( a1b1 ， a2b2)，已知

m

=(

1

2

 ， 2a)，

n

=(

π

4

 ， 0)，点P（x，y）在函数g（x）=sinx的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O为坐标原点）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数h(x)=2asin2x+

3

2

f(x-

π

4

)+b，且h（x）的定义域为[

π

2

 ， π]，值域为[2，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）设Q（x₁，y₁），根据定义

OQ

=

m

?

OP

+

n

=(

1

2

x，2ay)+(

π

4

，0)=(

2x+π

4

，2ay)可得

x1= 2x+π 4 y1=2ay

整理可得

x= 2x1- π 2 y=sinx= y1 2a

①把①代入y=sinx可求答案；
（2）由（1）可得，h(x)=2asin2x+

3

2

f(x-

π

4

)+b=a+b-（a+

3

a）cos2x，结合x∈[

π

2

 ， π]，可得2x∈[π，2π]，结合余弦函数的性质，分a＞0，a＜0两种情况讨论．

解答：解：（1）P（x，y）在函数g（x）=sinx的图象上运动可得，y=sinx，设Q（x₁，y₁），
∵Q满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

=(

1

2

x，2ay)+(

π

4

，0)=(

2x+π

4

，2ay)
∴

x1= 2x+π 4 y1=2ay

?

x= 2x1- π 2 y=sinx= y1 2a

又因为y=sinx
代入可得y1=2asin(2x1-

π

2

)=-2acos2x1
即f（x）=-2acos2x
（2）h(x)=2asin2x+

3

2

f(x-

π

4

)+b
=2asin²x-

3

asin2x+b
=a+b-2asin(2x+

π

6

)
∵x∈[

π

2

 ， π]，2x+

π

6

∈[

7

6

π，

13

6

π]
当a＞0时，

a+b+2a=5 a+b-a=2

∴a=1，b=2
当a＜0时，

a+b+2a=2 a+b-a=5

∴a=-1，b=5

点评：本题以新定义为载体，考查了向量的基本运算，二倍角公式的运算，三角函数的性质的应用，属于中档试题，具有一定的综合性．